Hidup Sehat

Depacco.com

Ujian Nasional 2012 tetap berlangsung

UN SMA/MA akan berlangsung pada 16-19 April 2012. Untuk SMP/MTs/SMPLB, UN dilaksanakan pada 23-26 April 2012. Sedangkan untuk SD/MI/SDLB, UN akan digelar pada 7-9 Mei 2012.

Image 2

blajar-lagi.blogspot.com.

Image 3

blajar-lagi.blogspot.com.

Rumah Belajar Excellent

Bimbingan Privat dengan Fasilitas terlengkap. Selain itu kami tawarkan berbagai pilihan paket yang menarik. Informasi lebih lanjut silahkan lihat di http://bimbingan-excellent.blogspot.com/

Image 5

blajar-lagi.blogspot.com.

Friday, February 17, 2012

fungsi

2:03 PM  Smufy   0

Bentuk umum :

f(x) = ax^2+bx+c

dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.


Contoh 1

Tentukan sumbu simetri dan titik puncak fungsi kuadrat:

f(x) = x^2+4x+5

Jawab :

f(x) = x^2+4x+5=(x+2)^2-4+5=(x+2)^2+1

Persamaan sumbu simetri adalah x = – 2

Koordinat titik puncak adalah (-2,1)




Contoh 2

Tentukan nilai s agar fungsi kuafrat berikut selalu bernilai positif

f(x) = (s + 1) x^2 +sx + 2s

Jawab :

Fungsi kuadrat akan selalu bernilai positif ( definit positif) jika

  1. a > o yaitu dan
  2. yaitu s^2 - 4 (s+ 1)(2s) = s^2 - (8s^2+8s) = -7s^2-8s = -s (7s + 8)< 0 diperoleh s < frac{-8}{7} atau s > 0

Dari hasil (i) dan (ii) dapat diambil kesimpulan bahwa fungsi kuadrat definit positif bila s > – 1 [merupakan irisan dari hasil (i) dan (ii)]

Read More

Invers Dan Determinan Matriks

11:46 AM  Smufy   0


Matriks merupakan susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom tertentu. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital. Jika m adalah banyaknya baris dari matriks A, dan n adalah banyaknya kolom dari matriks A, maka matriks A mempunyai ordo m \times n, atau ditulis A_{m\times n}.


A_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

1. Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku A \cdot B = B \cdot A = I maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis A^{-1}. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} dengan ad - bc \neq 0, maka invers dari matriks A (ditulis A^{-1}) adalah sebagai berikut:

A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Jika ad - bc = 0 maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

  • (A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}
  • (B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}
  • (A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}

Contoh: Tentukan invers dari matriks berikut!

\begin {array} {lcl} A & = & \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \\ A^{-1} & = & \frac {1}{2 \times 3 - 1 \times 5} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = & \frac {1}{6-5} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = & \frac {1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ A^{-1} & = & \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\end{array}

2. Determinan Matriks

Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi. Jika A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, maka rumus untuk mencari determinan matriks berordo 2×2:

det A = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Sedangkan untuk mencari determinan matriks berordo 3×3 menggunakan aturan Sarrus.

A_{3 \times 3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}

\begin{array} {lcl} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = && a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & - & a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{array}

Contoh: Tentukan determinan dari matriks berikut!

A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}

\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 2 - 1 \times 5 = 6 - 5 = 1

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}

\begin{vmatrix} B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix}

\begin{array} {lcl} \begin{vmatrix} B \end{vmatrix} & = & 1.3.3 + 2.4.1 + 3.1.4 - 1.3.3 - 4.4.1 - 3.1.2 \\ & = & 9 + 8 + 12 - 9 - 16 - 6 \\ & = & -2 \end{array}

Read More

Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat

11:39 AM  Smufy   0

Pada pembahasan sebelumnya telah diperoleh cara mencari akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a, b dan c ∈ riil) yaitu dengan menggunakan rumus abc:

Pada rumus tersebut terdapat bentuk (b2 – 4ac) yang disebut diskriminan (D). Dengan menggunakan diskriminan (D = b2 – 4ac), dapat ditentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat, yaitu:
a. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai 2 akar riil yang berlainan.
Jika D berbentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar riil berlainan dan rasional jika a, b, dan c bilangan rasional
Jika D bukan bentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka memiliki 2 akar riil berlainan dan irasional
b. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar riil.
c.Jika D = 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki 2 akar riil yang sama.
Contoh:
Dengan menentukan nilai Diskriminan, tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut:
a. 2x2 + 3x – 14 = 0
b. 3x2 – 5x + 2 = 0
c. 2x2 + 3x + 4 = 0
d. 4x2 – 12x + 9 = 0

Jawab:
a. 2x2 + 3x – 14 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = –14 maka
D = 32 – 4 ・ 2 ・ (–14)
= 9 + 112 = 121
Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 14 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

b. 3x2 – 5x + 2 = 0
Dengan nilai a = 3, b = –5, c = 1 maka
D = (–5)2 – 4 ・ 3 ・ 2
= 25 – 24 = 1
Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 3x2 – 5x + 2 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

c. 2x2 + 3x + 4 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = 4 maka
D = 32 – 4 ・ 2 ・ 4
= 9 – 32 = –23
Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 4 = 0 tidak mempunyai akar riil.

d. 4x2 – 12x + 9 = 0
Dengan nilai a = 4, b = –12, c = 9 maka
D = (–12)2 – 4 ・ 4 ・ 9
= 144 – 144 = 0
Oleh karena D = 0 maka persamaan kuadrat 4x2 – 12x + 9 = 0 mempunyai 2 akar kembar.

Read More

Logaritma (bagian1)

10:54 AM  Smufy   1

Logaritma adalah sebuah operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponen atau pemangkatan. Secara umum, logartima ditulis sebagai berikut:


^a \log b = c \Leftrightarrow a^c = b


dengan a > 0, a\neq 1, b > 0

  • a disebut bilangan pokok logaritma atau Basis
  • b disebut bilangan yang dilogaritmakan
  • c disebut hasil logaritma
  • Untuk basis atau bilangan pokok 10 boleh tidak ditulis


(alog x dibaca"logaritma x dengan basis a")
Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.

Misalnya:
^2 \log 8 = 3 \Leftrightarrow 2^3 = 8

^{10} \log 100 = 2 \Leftrightarrow 10^2 = 100

Contoh Soal:
1. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat.
a. 3 log 9 = 2
b. 5 log 125 = −3
c. 2 log 32 = 2p

Penyelesaian:
a. 3 log 9 = 2 ⇔ 32 = 9
b. 5 log 125 = 3 ⇔ 53 = 125
c. 2 log 32 = 2p ⇔ 22p = 32

2. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma.
a. 32a = 27
b. 2-2 = 1/4
Penyelesaian:
a. 32a = 27 ⇔ 3 log 27 = 2a
b. 2-2 = 1/4 ⇔ 2 log (1/4) = -2

Read More

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

9:59 AM  Smufy   0

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0

x variabel; a,b,c konstanta ; a ¹ 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Ada empat cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, yaitu: dengan cara Memfaktorkan, Melengkapkan bentuk kuadrat (Kuadrat Sempurna), dan dengan menggunakan Rumus ABC.

  1. Memfaktorkan

    a    x² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + q/a) = 0
    ®     x1 = - p/a dan x2 = - q/a

    dengan p.q = a.c dan p + q = b
  2. Melengkapkan bentuk kuadrat
    persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
    (x + p)² = q²     ® x + p = ± q
    x    1 = q - p dan x2 = - q - p
  3. Rumus ABC
    ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a

    bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D), Dengan kata lain D= b² - 4ac.
    Sehingga X    1,2 = (-b ± ÖD)/2a
Contoh 1:
Tentukan akar-akar persamaan dari 3x^2 + 14x + 15 = 0

Penyelesaian:
Cari dua angka yang jika dikalian sama dengan 3x15 atau 45, sedangkan jika bilangan tersebut ditambahkan sama dengan 14.

(.....) x (....) = 45 ® 5 x 9 = 45
(.....) + (....)= 14 ® 5 + 9 = 14

Sehingga

3x^2 + 14x + 15 = 0
\Leftrightarrow 3x^2 + 5x + 9x + 15 = 0
\Leftrightarrow x(3x + 5) + 3(3x + 5) = 0
\Leftrightarrow (x + 3)(3x + 5) = 0
x + 3 = 0 atau 3x + 5 = 0
x = -3 x = -\frac{5}{3}

Read More