Integral Bentuk akar

Bentuk 1
Untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk , kita dapat memisalkan pⁿ=ax+b.

contoh 1:
Tentukanlah nilai dari
ʃ

Penyelesaian:
Misalkan p²=x+1. → 2p dp=dx dan x=p²-1
sehingga:

ʃ	=	ʃ(p2-1)2p.2p dp
	=	ʃ(p4-2p2+1)2p2 dp
	=	ʃ(2p6-4p4+2p2) dp
	=	(2/7)p6-(4/5)p4+(2/3)p2+ C
	=	(2/7)(x+1)6-(4/5)(x+1)4+(2/3)(x+1)2+ C

Bentuk 2
Untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk , ; dan kita dapat memisalkan bentuk diatas berturut-turut menjadi x=a sin t; x=a tan t; x=a sec t.

contoh 2:
Tentukanlah nilai dari


Penyelesaian:
Misalkan x=2 sin t → dx=2 cos t dt dan x²=4sin² t.
sehingga:

	=
	=
	=
	=
	=
	=
	=
	=	2t+sin 2t+C

Latihan Soal:
Tentukanlah nilai dari

Read More

Metode Subtitusi pada Integral Trigonometri

Pada Integral fungsi trigonometri, metode subtitusi dapat dilakukan jika integrannya merupakan perkalian antara dua fungsi, dimana salah satunya merupakan turunan dari fungsi yang lainnya.

Contoh 1:
Tentukanlah hasil dari:
ʃ6x.sin(x²+3)dx

Penyelesaian.
Untuk memperoleh penyelesaian dari integral diatas kita dapat memisalkan: U=x²+3 → dU=2x dx.
sehingga
ʃ6x.sin(x²+3)dx=ʃ3.(2x).sin(x²+3)dx=ʃ3.sinU dU=-cosU+C=-cos(x²+3)+C


Contoh 2:
Tentukanlah hasil dari:
ʃcos⁵x dx

Penyelesaian.

ʃcos5x dx	=	ʃcos x.cos4x dx
	=	ʃcos x.(cos2x)2 dx
	=	ʃcos x.(1-sin2x)2 dx
	=	ʃcos x.(1-2sin2x+sin4x) dx
	=	ʃ(cos x-2cos x.sin2x+cos x.sin4x) dx
	=	sin x-(2/3)sin3x+(1/5)sin5x) dx

Contoh 3:
Tentukanlah hasil dari:
ʃsin³x dx

Penyelesaian.

ʃsin3x dx	=	ʃsin x. sin2x dx
	=	ʃsin x.(1 - cos2x) dx
	=	ʃsinx dx - ʃsin x. cos2x dx
	=	- cos x +(1/3)cos3x+C

Latihan Soal:
Tentukanlah hasil dari:
1. ʃsec x dx
2. ʃsec⁴x dx
3. ʃtan³x dx
4. ʃ2x.cos(x²+1)dx
5. ʃcos⁵x.sin x dx
6. ʃcos 3x.sin⁵3x dx

Read More

Integral dengan Subtitusi

Contoh 1:
Tentukan nilai dari


Penyelesaian:
Misalkan: U=x²+4 → du=2x dx
Subtitusikan du=2x dx ke persamaan awal, sehingga:

	=
	=
	=	U3 + C
	=	(x2+4)3 + C

Contoh 2:
Tentukan nilai dari


Penyelesaian:
Misalkan: U=x²+2 → du=2x dx
Subtitusikan du=2x dx ke persamaan awal, sehingga:

	=
	=
	=
	=
	=

Contoh 3:
Tentukan nilai dari integral berikut:


Penyelesaian:
Misalkan: U=x²+4 → du=2x dx
untuk x=0 → U=4 dan x= → U=9
Subtitusikan du=2x dx ke persamaan awal, sehingga:

	=
	=
	=
	=
	=
	=

Latihan Soal:

Read More

Menentukan Luas dengan Integral Tertentu

Perhatikan gambar diatas. Suatu daerah D berada dibawah kurva y=f(x), diatas sumbu x, dan dibatasi oleh garis x=a dan x=b.
Luas derah D diatas dapat dinyatakan dengan:



Contoh:
Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=3x²+1, sumbu x, garis x=-1, garis x=3

Penyelesaian:

L(A)	=
	=
	=	[33+3]-[(-1)3+(-1)]=30-(-2)=32

Latihan Soal:
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x²+3x-4, sumbu x, garis x=2 dan x=4
2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x⁴+3x-4, sumbu x, garis x=1 dan x=2 sama dengan....

Read More