Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri adalah barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r. Jika suku pertama (U₁) dinotasikan a dan rasio dinyatakan dengan r, maka suku-suku barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut: a, ar, ar², ……, ar^n-1.
Sehingga Bentuk umum suku ke-n suatu barisan geometri dirumuskan :

Un= arn-1

U_n = Jumlah sampai suku ke-n
r = rasio
a = suku pertama
n = banyaknya suku

Sedangkan jika U_n dibagi dengan U_n-1 didapat r,
sehingga diperoleh rumus untuk r :

Contoh 1:
Tentukan rasio dan suku ke sepuluh dari barisan geometri berikut:
3, 12, 48, 192.....

Penyelesaian:

a = 3,

Un	=	a.rn-1
U10	=	3.410-1
	=	3.49

Contoh 2:
Tentukan suku ke-8 dari barisan geometri berikut:


Penyelesaian:

Un	=	a.rn-1
U8	=	a.r8-1
	=
	=	3-4.37
	=	33 = 27

Contoh 3:
Suku ke-3 dan suku ke-6 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 5 dan 135. maka Suku ke-7 barisan tersebut adalah....

Penyelesaian:
U₃ = 5 → ar² = 5

U6	=	135
a r5	=	135
a r2. r3	=	135
5. r3	=	135
r3	=
r3	=	27
r	=	3

Subtitusikan nilai r = 3 ke salah satu persamaan, sehingga;
U₈ = a.r⁷ = ar². r⁵ = 5. 3⁵ = 1215

Deret Geometri adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan geometri.
Bentuk baku deret geometri adalah: a + ar + ar² + …… + ar^n-1 . Jumlah n suku pertama deret geometri dinyatakan dengan S_n, dan dirumuskan:

atau

dengan:
S_n = Jumlah sampai suku ke-n
r = rasio
a = suku pertama
n = banyaknya suku

Contoh 4:
Tentukan jumlah 6 suku pertama pada deret berikut:
2 + 4 + 8 + 16 + ....

Penyelesaian:

a = 2, r = 4:2 = 2

Sn	=
S6	=
	=
	=	2(63)
	=	126

Latihan Soal:
1. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya
adalah 2.

2. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan
suku ke-9 adalah 768

3. Carilah jumlah sampai dengan suku ke-8 yang pertama dari barisan geometri: 3, 6,
12, 24, ........

4. Tentukan rasio dan suku ke-5 dari barisan geometri jika diketahui sebagai berikut:

a.	U1 = 2, U3 = 8
b.	U1 = 4U3, U4 = ¼
c.	U1 = 36, U4 = –12
d.	U1.U5 = 16, U2 + U4 = 10
e.	U1 + U6 = 244, U3.U4 = 243

5. Tentukan nilai x agar barisan: x+2, 2, x-1 menjadi barisan geometri.

6. Carilah nilai x jika barisan berikut adalah barisan geometri.

a.	x + 1, x – 1, dan x – 5
b.	2x, x2 dan 8x
c.	4 + x, 3 + 3x dan 1 + 7x
d.	x – 1, 2x – 8 dan 5 – x
e.	2x – 5, x – 4 dan 10 – 3x

7. Diketahui barisan geometri : 1, 9, 81, ……. Diantara tiap dua suku berurutan disisipkan sebuah suku sehingga terbentuk barisan geometri baru. Tentukan rasio dan suku ke-7 barisan geometri baru.

8. Sebuah mobil harganya Rp. 200.000.000,- setiap tahun harga mobil itu menyusut 10% dari harga tahun sebelumnya.
a. Hitunglah harga mobil pada akhir tahun ke-1, 2, 3, dan 4.
b. Jika setelah n tahun harga mobil itu adalah M_n, tunjukkan bahwa M_n = Rp. 200.000.000,- x (0,9)n

9. Pada sebuah deret geometri dibutuhkan U₁ + U₂ = 4, U_n-1 + U_n = 108 dan S_n = 121. tentukan a dan r

10. Uang sebesar Rp. 2.000.000,- diinvestasikan pada tiap awal tahun dengan mendapat bunga majemuk 12% pertahun. Hitunglah seluruh uang tersebut pada akhir tahun ketujuh.

11. x1 dan x2 adalah akar-akar bulat dari persamaan x² – (2k + 4)x + (3k + 4) = 0. Jika x1, k dan x2 merupakan tiga suku pertama barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut.

12. Di antara bilangan 12 dan 224 disisispkan 3 bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah suku-suku barisan tersebut.

13. Diantara setiap dua suku berurutan pada deret geometri 7 + 28 + 112 + …… sampai 6 suku disisipkan sebuah suku sehingga diperoleh deret geometri baru. Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan.

14. Sebuah tali dipotong menjadi 6 bagian yang masing-masing panjangnya membentuk barisan geometri. jika panjang tali yang terpendek adalah 2 meter dan yang terpanjang 64 meter. Tentukan panjang tali semula.

Posted in: Barisan, Matematika, SMA, SMP