Pemfaktoran Bentuk Aljabar

Pemfaktoran dengan Sifat Distributif
Pada dasarnya, memfaktorkan suatu bilangan berarti menyatakan suatu bilangan dalam bentuk perkalian faktor-faktornya. Pada bagian ini, akan dipelajari cara-cara memfaktorkan suatu bentuk aljabar dengan menggunakan sifat distributif. Dengan sifat ini, bentuk aljabar ax + ay dapat difaktorkan menjadi a(x + y), di mana a adalah faktor persekutuan dari ax dan ay.
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah Contoh Soal berikut.

Contoh 1:
Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 3pq + 6p
b. 8x – 2x²y
c. –5a²b² + 10ab
d. ¹/₂ x³y² + ¹/₄ x²y³

Penyelesaian:
a. 3pq + 6p
Untuk memfaktorkan 3pq + 6p, tentukan faktor persekutuan dari 3 dan 6, kemudian dari pq dan p. Faktor persekutuan dari 3 dan 6 adalah 3.
Faktor persekutuan dari pq dan p adalah p.
Jadi, 3pq + 6p difaktorkan menjadi 3p(q + 2).
Dengan kata lain 3pq + 6p = 3p(q + 2)

b. 8x – 2x²y
Faktor persekutuan dari 2 dan –8 adalah 2. Faktor persekutuan dari x dan x²y adalah x.
Jadi, 8x – 2x²y = 2x(4 – xy).

c. –5a²b² + 10ab
Faktor persekutuan dari –5 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari a²b² dan ab adalah ab.
Jadi, –5a²b² + 10ab = 5ab (–ab + 2).

d. ¹/₂ x³y² + ¹/₄ x²y³
Faktor persekutuan dari ¹/₂ dan ¹/₄ adalah ¹/₄.
Faktor persekutuan dari x³y² adalah x²y³ adalah x²y².
Jadi, ¹/₂ x³y² + ¹/₄ x²y³ = ¹/₄ x²y² (2x +y)

Selisih Dua Kuadrat (a² - b²)
Perhatikan bentuk perkalian berikut:

(a + b)(a – b)	=	a(a – b) + b(a – b)
	=	a2 - ab + ab - b2
	=	a2 - b2

Jadi, bentuk a^{2  –} b² dapat dinyatakan dalam bentuk:


Contoh 2 :
Faktorkan bentuk-bentuk berikut.
a. y² – 9
b. 16x² – 4y²
c. 25 p² – 9q²
d. 20x² – 5y²
Penyelesaian:

a.	y2 – 9	= y2 – 32
		= (y + 3)(y - 3)
b.	16x2 – 4y2	= 42x2 - 22y2
		= (4x + 2y)(4x - 2y)
c.	25 p2 – 9q2	= 52x2 - 32y2
		= (4x + 2y)(4x - 2y)
d.	20x2 – 5y2	= 5(4x2 – y2)
		= 5(22x2 - y2)
		= 5(2x + y)(2x - y)

Pemfaktoran Bentuk Kuadrat
a. Dengan a = 1
Masih ingat dengan bentuk perkalian aljabar berikut??

(x + p)(x + q)	=	x(x + q) + p(x + q)
	=	x2 + qx + px + pq
	=	x2 + (q + p)x + pq

Nah, jika kita perhatikan bentuk diatas, tenyata bentuk x² + (q + p)x + pq dapat kita faktorkan menjadi (x + p)(x + q).
Misalkan x² + (q + p)x + pq = ax² + bx + c, dengan a=1, b = p+q dan c = p.q
dari permisalan diatas, dapat dilihat bahwa p dan q merupakan faktor dari c. Jika p dan q dijumlahkan, hasilnya adalah b.
Dengan demikian untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dengan a = 1, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari c dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan b.
Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 3:
Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.
a. x² + 5x + 6
b. x² – 3x + 2
c. x² + 2x – 8

Penyelesaian:
a. x² + 5x + 6

Langkah pertama untuk memfaktorkan persamaan di atas, adalah dengan menententukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6, yang apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 5.
Faktor dari 6 adalah ±6 dan ±1 atau ±2 dan ±3, yang memenuhi syarat adalah 2 dan 3
Jadi, x² + 5x + 6 = x² + (2+3)x + 2.3 = (x + 2)(x + 3)


b. x² + 3x + 2

tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 2, yang apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 3.
Faktor dari 2 adalah ±2 dan ±1
Jadi, x² – 3x + 2 = x² – (2 +1)x + 2.1 = (x – 2)(x – 1)

c. x² + 2x – 8
tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 8, yang apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 2.
Faktor dari 8 adalah ±1, ±2, ±4, dan ±8.
Jadi, x² + 2x - 8 = x² + (4+(-2))x + 4.(-2) = (x + 4)(x - 2)

Dari contoh diatas (contoh 3a.) dapat kita simpulkan bahwa faktor dari x² + 5x + 6, dapat ditentukan dari dua bilangan yang jika dijumlahkan menghasilkan 5 (koefisien dari x), dan jika dikalikan menghasilkan 6, dua bilangan tersebut adalah 2 dan 3.
Dengan demikian x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Begitu pula untuk contoh 3b dan 3c.


b. Dengan a ≠ 1
Untuk menyelesaikan bentuk pemfaktoran dari ax² + bx + c, terlebih dahulu kalikan nilai a (koefisien dari x²) dengan c. Kemudian tentukan dua bilangan yang apabila dikalikan menghasilkan ac dan apabila dijumlahkan menghasilkan b.

Contoh 4:
Faktorkanlah bentuk dari 2x² + 5x + 2
Penyelesaian:

Koefisien dari x² adalah 2, dan konstanta pada persamaan diatas adalah 2, jika kedua bilangan ini dikalikan hasilnya 4. Tentukan dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 4, sedangkan jika dua bilangan itu dijumlahkan hasilnya 5 (koefisien dari x). Kedua bilangan itu adalah 1 dan 4. sehingga:

2x2 + 5x + 2	=	2x2 + (1 + 4)x + 2
	=	2x2 + 1x + 4x + 2
	=	x(2x + 1) + 2(2x + 1)
	=	(x + 2)(2x + 1)

Contoh 5:
Faktorkanlah bentuk dari 3x² - x - 10
Penyelesaian:

Koefisien dari x² adalah 3, dan konstanta pada persamaan diatas adalah (-10), jika kedua bilangan ini dikalikan hasilnya (-30). Tentukan dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya (-30), sedangkan jika dua bilangan itu dijumlahkan hasilnya -1 (koefisien dari x). Kedua bilangan itu adalah 5 dan (-6). sehingga:

3x2 - x - 10	=	3x2 + (-6 + 5)x - 10
	=	3x2 - 6x + 5x + - 10
	=	3x(x - 2) + 5(x - 2)
	=	(3x + 5)(x - 2)

Posted in: Bentuk Aljabar, Matematika, SMP