Volume Benda Putar (SP 6)

Pembahasan Soal Pelatihan 6
12 SMA – IPA

No. 1
Daerah dibatasi oleh kurva y=2, dan garis x=4 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o




No. 2
Daerah dibatasi oleh garis y=2x+2, y=x+5 dan sumbu y, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°



No. 3
Daerah dibatasi oleh kurva y=-x²+3, sumbu x, sumbu y dan garis x=1 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 4
Daerah dibatasi oleh parabola y=-x²+3x, dan garis y=x, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 5
Daerah dibatasi oleh kurva y=1/x, garis y=x, sumbu x, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 6
Daerah dibatasi oleh kurva y=sin x, sumbu x , pada interval 0≤x≤π, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°




No. 7
Daerah dibatasi oleh kurva y² = x, sumbu y, dan garis y=2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°




No. 8
Daerah dibatasi oleh kurva y=x², y=4x² dan garis y=4 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°




No. 9
Daerah dibatasi oleh kurva y = x³ dan garis x=1, sumbu x, diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°





No. 10
Daerah dibatasi oleh kurva y= x² , sumbu y dan garis x+y=2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360°






Untuk mengunduh pembahasan diatas, klik disini

Read More

Menentukan Luas Daerah (bagian I)

Salah satu penggunaan integral adalah untuk menentukan Luas daerah oleh kurva. Ada beberapa kemungkinan daerah yang akan dicari luasnya, yaitu Luas Daerah diatas sumbu x, Luas Daerah dibawah sumbu x, dan Luas Daerah diantara dua kurva, selain itu Luas daerah juga dapat di hitung dengan menggunakan acuan sumbu y. Mari kita bahas satu persatu:

Luas daerah diatas sumbu x
Misalkan y = f(x) berharga positif pada daerah a ≤ x ≤ b dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f(x) dengan sumbu x dari x = a ke x = b dapat kita ilustrasikan seperti gambar di bawah ini.


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:


Luas daerah dibawah sumbu x
Bila y = f(x) berharga negatif pada daerah a ≤ x ≤ b maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah seperti gambar berikut ini:


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:


Luas daerah di antara dua kurva
Sedangkan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) ≥ g (x) , dan dibatasi oleh a ≤ x ≤ b adalah


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:



Contoh 1 :
Tentukanlah luas dari daerah yang dibatasi oleh y = 2x + 3, sumbu x, dan ordinat-ordinat x = 1 dan x = 4.

Penyelesaian.
y = 2x + 3 merupakan suatu garis lurus seperti pada gambar dibawah ini:

Dengan integrasi, luas daerah yang diarsir

Soal diatas juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus Trapesium (masih ingat rumusnya kan??)

Luas trapesium	=	1/2(jumlah sisi sejajar).(tinggi)
	=	1/2(5+11)(3)
	=	24 satuan luas

contoh 2:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x² + 2x dengan sumbu x

penyelesaian:

Read More

Persentil dari Data Tunggal dan Data Kelompok

Seperti halnya pada pengertian kuartil dan desil, persentil adalah nilai-nilai yang membagi susunan data menjadi 100 bagian yang sama banyaknya.
1) Persentil untuk data tunggal
Letak persentil dirumuskan dengan:


Keterangan: P_i = persentil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 99
n = banyaknya data

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.
Penyelesaian
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak persentil ke-30 di urutan data ke- 30(10 +1)/100 = 330/100 = 3,3.
P30 = x3 + 0,3 (x4 – x3) = 5 + 0,3 (6 – 5) = 5,3
Jadi, P30 = 5,3.
Letak persentil ke-75 di urutan data ke- 75(10 +1)/100 = 8,25.
P75 = x8 + 0,25 (x9 – x8) = 9 + 0,25 (10 – 9) = 9,25
Jadi, P75 = 9,25.

2) Persentil untuk data bergolong
persentil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh:

Dari data di atas tentukan persentil ke-25

Penyelesaian:

Letak P25 = ⋅ (25/100). 40 = 10, yaitu data ke-10 dan kelas P25 = 51 – 55 sehingga diperoleh:



Latihan soal:

1. Tentukan P₁, P₁₄, dan P₇₀ dari data: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Hitunglah P₅, P₂₀, dan P₅₀ dari data berikut. 10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
3. Carilah P₈ dan P₃₄ dari data: 16, 17, 17, 18, 9, 20, 21, 22, 24, 26
4. Tentukan P₁₁ dari data: 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8, 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 2
5. Tentukan P₂₁ dan P₆₂ dari data berikut ini.

Read More

Kolom Frekuensi dan Frekuensi Kumulatif

Kolom Frekuensi berisi bilangan yang menyatakan banyak nilai data yang ada dalam interval yang bersangkutan. Sedangkan Frekuensi Kumulatif berisi bilangan yang menyatakan banyak nilai data yang ada dalam interval yang bersangkutan ditambah dengan banyak nilai data yang ada dalam interval-interval berikutnya.

misalkan diketahui tabel distribusi frekuensi berikut.

Berat Badan (Kg)	Frekuensi (f)
35 – 39	4
40 – 44	3
45 – 49	10
50 – 54	15
55 – 59	8

maka cara untuk menentukan frekuensi kumulatifnya adalah sebagai berikut:

Berat Badan (Kg)	Frekuensi (f)	Frekuensi Kumulatif (fk)
35 – 39	4	4
40 – 44	3	4 + 3 = 7
45 – 49	10	4 + 3 + 10 = 17
50 – 54	15	4 + 3 + 10 + 15 = 32
55 – 59	8	4 + 3 + 10 + 15 + 8 = 40

Read More

Desil dari Data Tunggal dan Data Kelompok

Jika median membagi data menjadi dua bagian dan kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama, maka desil akan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak.

Dengan demikian nilai-nilai dari desil yaitu desil ke-1 (D₁), desil ke-2 (D₂), desil ke-3 (D₃) dan seterusnya sampai D₉.

1) Desil untuk data tunggal
Nilai D₁, D₂, D₃, dan seterusnya ditentukan oleh letaknya, dengan rumus:

Keterangan:
D_i = desil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 9
n = banyaknya data

Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh
Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan desil ke-1 dan desil ke-4.
Penyelesaian
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak desil ke-1 diurutan data ke-1/10 (10 + 1)=11/10=1,1
D₁ terletak pada urutan ke-1,1 sehingga: D₁ = x₁ + 0,1 (x₂ – x₁).
Jadi D₁ = 4 + 0,1 (5 – 4) = 4 + 0,1 = 4,1.
Letak desil ke-4 diurutan data ke-4/10 (10 + 1)=44/10=4,4
D₄ terletak pada urutan ke-4,4 sehingga: D₄ = x₄ + 0,4 (x₅ – x₄).
Jadi D₄ = 6 + 0,4 (7 – 6) = 6 + 0,4 = 6,4


2) Desil untuk Data Berkelompok
Nilai desil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
D = desil ke-i
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil
f = frekuensi kelas desil
b = tepi bawah kelas
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh:

Dari data di atas tentukan:
a. desil ke-2
b. desil ke-9
Penyelesaian:

a. Letak D2 = (2/10).40 =8, yaitu pada data ke-8 dan kelas D2 = 50 – 59 sehingga diperoleh:

b. Letak D9 = (9/10).40 = 36, yaitu data ke-36 dan kelas D9 = 80 – 89 sehingga diperoleh:



Latihan soal:

1. Tentukan D₁, dan D₆ dari data: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Hitunglah D₄ dan D₇ dari data berikut. 10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
3. Carilah D₁, D₃, dan D₉, dari data berikut.
   10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
4. Tentukan D₁, D₂, dan D₅ dari data: 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8, 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 2
5. Tentukan D₁ dan D₇ dari data berikut ini.

Read More

Quartil dari Data Tunggal dan Data Kelompok

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak, sedangkan kuartil membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.

Keterangan:
x_min = data terkecil
x_maks = data terbesar
Q₁ = kuartil ke-1
Q₂ = kuartil ke-2
Q₃ = kuartil ke-3

1) Kuartil data tunggal
Untuk mencari kuartil data tunggal telah dibahas pada sub bab statistik lima
serangkai. Pada sub bab ini akan diberikan rumus yang lebih mudah jika data
yang disajikan lebih banyak.
Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut.
untuk n ganjil


untuk n genap
rumus untuk menentukan nilai kuartil pada data tunggal dengan n genap adalah:
Q₁ = x_{(n + 2)/4}
Q₂ = ½(x_n/2 + x_{n/2 + 1})
Q₃ = x_{(3n + 2)/4}


Contoh 1
Tentukan Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data : 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10.
Penyelesaian:
Data yang telah diurutkan: 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10
Banyak data dari contoh di atas adalah 11. Kuartil ditentukan dengan:
Nilai Q1 = data ke-1/4(11 + 1)= data ke-3 = 6
Nilai Q2 = data ke-2/4(11 + 1) = data ke-6 = 7
Nilai Q3 = data ke-3/4(11 + 1) = data ke-9 = 8
Sehingga nilai Q1 = 6, Q2 = 7, dan Q3 = 8.

Contoh 2
Tentukan Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12.
Penyelesaian
Data yang telah diurutkan: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.
Q₁ = x_{(14 + 2)/4} = x₄ = 4
Q₂ = ½(x_14/2 + x_{14/2 + 1})= ½(x₇ + x₈)= ½(7 + 7) = 7
Q₃ = x_{(3.14 + 2)/4} = x_{(42 + 2)/4} = x₁₁ = 8
Jadi Q1 = 4, Q2 = 7, Q3 = 8.

2) Kuartil data berkelompok
Menentukan letak kuartil untuk data bergolong, caranya sama dengan data tunggal.
Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
bi = tepi bawah kelas kuartil ke-i
N = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
l = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh 3:
Tentukan Q₁ (kuartil bawah), Q₂ (median), dan Q₃ (kuartil atas) dari data tes
Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.

Penyelesaian

Letak Q₁ pada frekuensi = 1/4 .(40) = 10, di kelas 60 – 69.

Letak Q₂ pada frekuensi = 1/2 .(40) = 20, di kelas 60 – 69.

Letak Q₃ pada frekuensi = 3/4 ⋅ (40) = 30, di kelas 70 – 79.




Latihan soal:

1. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Hitunglah Q1 dan Q3 dari data berikut. 10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
3. Carilah Q1, Q2, dan Q3 dari data: 16, 17, 17, 18, 9, 20, 21, 22, 24, 26
4. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data: 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8, 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 2
5. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut ini.

****** Catatan:
Untuk teman-temana yang masih bingung cara menentukan frekuensi kumulatif bisa baca disini

Read More