Ukuran Letak pada Statistika

Selain ukuran pemusatan data (yang telah kita bahas pada postingan sebelumnya), ada juga yang disebut ukuran letak. Adapun ukuran letak ini meliputi: kuartil (Q), desil (D), dan persentil (P).

A. Quartil (Q)
Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak, sedangkan kuartil membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.

Keterangan:
x_min = data terkecil
x_maks = data terbesar
Q₁ = kuartil ke-1
Q₂ = kuartil ke-2
Q₃ = kuartil ke-3

1) Kuartil data tunggal
Untuk mencari kuartil data tunggal telah dibahas pada sub bab statistik lima
serangkai. Pada sub bab ini akan diberikan rumus yang lebih mudah jika data
yang disajikan lebih banyak.
Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut.


Contoh soal
Tentukan Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data : 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10.
Penyelesaian:
Data yang telah diurutkan: 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10
Banyak data dari contoh di atas adalah 11. Kuartil ditentukan dengan:
Nilai Q1 = data ke-1/4(11 + 1)= data ke-3 = 6
Nilai Q2 = data ke-2/4(11 + 1) = data ke-6 = 7
Nilai Q3 = data ke-3/4(11 + 1) = data ke-9 = 8
Sehingga nilai Q1 = 6, Q2 = 7, dan Q3 = 8.

2) Kuartil data berkelompok
Menentukan letak kuartil untuk data bergolong, caranya sama dengan data tunggal.
Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
bi = tepi bawah kelas kuartil ke-i
N = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
l = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil

Contoh :
Tentukan Q₁ (kuartil bawah) dari data tes Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.

Penyelesaian

Letak Q₁ pada frekuensi = 1/4 .(40) = 10, di kelas 60 – 69.

Untuk lebih jelasnya, klik pembahasan detailnya di sini.

3) Jangkauan interkuartil dan semi interkuartil
a) Jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, dilambangkan dengan J.

J = xmaks – xmin

b) Jangkauan interkuartil (H) adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama:

H = Q3 – Q1

c) Jangkauan semi interkuartil (Qd) atau simpangan kuartil dirumuskan:

Qd = 1/2 (Q3 – Q1)

d) Langkah (L) adalah satu setengah dari nilai jangkauan interkuartil:


B. Desil
1) Desil untuk data tunggal
Jika median membagi data menjadi dua bagian dan kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama, maka desil akan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak.

Dengan demikian nilai-nilai dari desil yaitu desil ke-1 (D₁), desil ke-2 (D₂), desil ke-3 (D₃) dan seterusnya sampai D₉.
Sehingga penentuan nilai D₁, D₂, D₃, dan seterusnya ditentukan oleh letaknya, dengan rumus:

Keterangan:
D_i = desil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 9
n = banyaknya data

Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh
Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan: desil ke-4.
Penyelesaian
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak desil ke-4 diurutan data ke-4/10 (10 + 1)=44/10=4,4
D₄ terletak pada urutan ke-4,4 sehingga: D₄ = x₄ + 0,4 (x₅ – x₄).
Jadi D₄ = 6 + 0,4 (7 – 6) = 6 + 0,4 = 6,4


2) Desil untuk Data Berkelompok
Nilai desil ke-i dari data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
D = desil ke-i
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil
f = frekuensi kelas desil
b = tepi bawah kelas
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Dari data di atas tentukan desil ke-2
Penyelesaian:

Letak D2 = (2/10).40 =8, yaitu pada data ke-8 dan kelas D2 = 50 – 59 sehingga diperoleh:

Untuk lebih jelasnya, klik pembahasan lengkapnya di sini.

C. Presentil
1) Persentil untuk data tunggal
Jika data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka ukuran itu disebut persentil.
Letak persentil dirumuskan dengan:

Keterangan: P_i = persentil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 99
n = banyaknya data

2) Persentil untuk data berkelompok
persentil ke-i dari data ber kelompok dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Dari data di atas tentukan persentil ke-25

Penyelesaian:

Letak P25 = ⋅ (25/100). 40 = 10, yaitu data ke-10 dan kelas P25 = 51 – 55 sehingga diperoleh:

Untuk lebih jelasnya, klik pembahasan detailnya di sini.

Posted in: Matematika, SMA, Statistika