Panjang Vektor atau Modulus Vektor ~ blajar-pintar

Saturday, June 23, 2012

Panjang Vektor atau Modulus Vektor

4:42 PM Smufy 7

Panjang Vektor
Misalkan R adalah sebuah titik pada bidang dengan koordinat (x, y) dan r, maka r dapat disajikan dalam bentuk vektor kolom sebagai
$r=\binom{x}{y}$
Panjang atau besar dari ruas garis berarah dilambangkan dengan |r|

Dari gambar di atas, didapat hubungan:
OR² = OA² + OB²
OR² = x² + y²
OR = √(x² + y²)
Dengan demikian, panjang $\overrightarrow{OR}$ adalah:

|OR| = √(x² + y²)
Jadi, besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus:
|r| = √(x² + y²)

Misalkan titik R mempunyai koordinat (x, y, z) dan $\overrightarrow{OR}$ mewakili vektor r, maka vektor r dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom sebagai
$r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ .
Panjang atau besar ruas garis berarah $\overrightarrow{OR}$ ditulis sebagai | $\overrightarrow{OR}$ | atau OR.

Berdasarkan gambar di atas diperoleh hubungan:
OR² = OD² + DR² ...................... (1)
Sedangkan OD² = OA² + OB²
OD² = x² + y²
dan DR² = z²
Substitusi OD² dan DR² ke persamaan (1) diperoleh
OR² = x² + y² + z²
Dengan demikian

Jadi, besar atau panjang vektor r (x, y, z) dapat ditentukan dengan rumus

Contoh:
Diketahui vektor-vektor
$a=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}$
Hitunglah|2a - b|
Jawab:
$2a-b=2\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\6\\-5\end{pmatrix}$
|2a - b| = √[(-1)² + 6² + (-5)²)]= √(1+36+25)= √62
Jadi, panjang vektor 2a - b adalah |2a - b| = √62 satuan panjang